2022학년도 영재고 입시 입체기하 정리 -정 다면체와 준 정 다면체에 대하여

1.정다면체의 정의

모든 면이 합동인 정다각형이고, 각 꼭지점에 모여 있는 면의 개수가 모두 같은 다면체

 

2.정다면체의 종류

정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 다섯 종류만 있다.

3.정다면체가 5가지인 이유?

 (1)정다면체가 5개인 이유를  한 꼭지점에 모인 면의 개수를 이용해 알아보자.

(조건1) 정다면체의 한 꼭지점에는 면이 3개 이상 모여 있어야 한다.

(조건2) 한 꼭지점에 모인 정다각형의 네 각의 합이 360이하가 되어야 한다.

 

   (ⅰ) 각 면이 삼각형인 정다면체

한 꼭지점에 모이는 정삼각형이 3개(180°)이면 정사면체, 4개(240°)이면 정팔면 체, 5개(300°)이면 정이십면체이다. 그러나, 6개 이상이 모이면, 360°이상이 되어 입체를 만들 수 없다.

 

   (ⅱ) 각 면이 사각형인 정다면체

한 꼭지점에 모이는 정사각형이 3개(270°)이면 정육면체가 되고, 4개 이상이면 360°이상이 되어 입체를 만들 수 없다.

 

   (ⅲ) 각 면이 오각형인 정다면체

한 꼭지점에 모이는 정오각형이 3개(324°)이면 정십이면체가 되고, 4개 이상이면 360°이상이 되어 입체를 만들 수 없다.

 

따라서 정 다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체, 총 5가지이다.

 

 (2)정다면체가 5개인 이유를  오일러 정리를 이용해 알아보자.

3. 준 정다면체의 종류